Situation à la Renaissance

Poussés par une curiosité nouvelle, intellectuels et artistes italiens du XV^e et XVI^e siècle se passionnent pour l’antiquité ; La Renaissance est vécue comme un retour aux sources antiques, oubliées pendant le Moyen Age.

Traduisant fidèlement des textes antiques, les humanistes y trouvent une réflexion centrée sur l’homme et la nature, et non plus sur Dieu. L’éducation est fondamentale dans cette nouvelle vision de l’homme : les connaissances mènent au progrès de l’humanité.

A la lecture des auteurs antiques, les intellectuels prennent conscience que l’observation de la nature et l’expérimentation permettent de faire des découvertes. Ce nouvel esprit critique touche tous les domaines de la connaissance.

Les échanges commerciaux deviennent de plus en plus faciles, et se développent donc très vite. Dans leurs transactions internationales, les marchands doivent jongler avec de multiples systèmes de mesures et de monnaies. Il leur faut donc des méthodes de calculs efficaces pour éviter les erreurs.

A la renaissance, les fils de commerçants recevaient ordinairement une formation approfondie en mathématiques élémentaires dans des écoles ou des ateliers. C’est dans ces lieux que se popularisa l’utilisation des chiffres indo-arabes.

L’Europe avait commencé à se familiariser avec ces nouveaux chiffres au XII ^e siècle, à travers les traductions en latin de textes arabes, puis avec la publication, en 1202, du Liber abbaci (le Livre du calcul) de Léonard de Pise. Ce dernier est surtout connu sous le nom de Fibonacci, pour son travail sur la construction d’une suite de nombres, modélisant la prolifération des lapins.

La suite de Fibonacci

Fibonacci se place dans une hypothèse basse :

- Un couple de lapin C₁ donnerait naissance à seulement un autre couple C₁₂ à la deuxième génération puis à un couple C₁₃ à la troisième génération avant de mourir.

- De même C₁₂ donne naissance à un couple C₁₂₃ à la troisième génération, qui s’ajoute au couple procréé par C₁ à cette génération, et à un couple C₁₂₄ à la quatrième génération puis il meurt … et ainsi de suite.

Si on désigne par U₁ U₂ U₃ … U_n-2 U_n-1 U_n les nombres de couples composant les n générations successives, on peut écrire :

Ainsi il y a 5 couples à la cinquième génération … il y en aura 987 à la seizième …

Fibonacci calcula le quotient de chaque terme par le terme précédent pour un très grand nombre de générations, . Il constata que ce quotient s’approchait toujours plus près d’un nombre qui semblait être une limite infranchissable. Ce nombre, dont il ne put calculer la valeur exacte, il le nomma le Nombre d’Or, le symbole de l’harmonie parfaite.

1,61803398874989 à 10^-14 près

(Limite des tableurs)

Le Nombre d’Or sera noté Φ. ( lire « fi » )

Avec l’algèbre

Avec le développement des calculs algébriques, les mathématiciens de la Renaissance on retrouvé le Nombre d’Or dans la recherche suivante :

Comment trouver un nombre éloigné d’une unité de son carré ?

Cette recherche conduit à la résolution d’une équation du second degré.

x + 1 = x²

En les testant, on peut constater que

et

sont solutions de cette équation.

Φ doit être un nombre positif donc sa valeur exacte est : .

Avec la géométrie

Le Nombre d’Or était connu en Grèce dès l’antiquité.

Euclide a résolu le problème de la section dorée d’un segment.

Certains artistes grecs du cinquième siècle avant J.-C. utilisaient le Nombre d’Or dans leurs œuvres pour déclencher l’émotion du spectateur. Les grands artistes de l’Antiquité ont eu recours à la section d’or pour réaliser leurs œuvres.

La théorie est que : sur tout segment il existe un point qui le partage dans le rapport de la « Divine proportion ».

Euclide avance et démontre l’idée que la section dorée d’un segment est obtenue lorsque le quotient du « grand morceau » par le « petit morceau » est égale au quotient du « tout » par le « grand morceau » :

Pour que B partage le segment [AC] dans le rapport du nombre d’or il faut et il suffit que

Démonstration :

On choisit la longueur BC comme unité et on pose AB = x alors AC = x + 1

donc devient

alors x² = x + 1 (Produit en croix)
on retrouve l’équation précédente et x =

donc AB = Φ.

Certains artistes utilisent la position 5/8 comme approximation de la section dorée.

Cette approximation se justifie par le fait que 8/5 = 1,6 et 5/(8-3)≈ 1,7

donc 8/5 ≈5/(8-3) et on retrouve la situation précédente.

On peut aussi remarquer directement que 5 et 8 sont deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci.

Avec les peintres

A partir du 13^ème siècle, l’idée que l’esprit divin est incarné dans chaque parcelle de nature et dans chaque objet qui nous entoure engage la peinture dans la voie du réalisme.

A l’époque de la renaissance les codes de la perspectives sont régis par des modèles mathématiques.

Introduction sur la manière de mesurer, Albrecht Dürer, 1525.

On voit sur cette scène un quadrillage permettant de dessiner une image en perspective.

Le nombre d’or est un nombre réel, solution d’une équation algébrique. Il est aussi une mystérieuse expression, à laquelle on attribue des propriétés esthétiques. Certains croient que le nombre d’or est la clé de la connaissance , il doit se retrouver dans toute œuvre d’art digne de ce nom.

Le Nombre d’or apparaît alors sous des formes très rigoureuses dans les productions artistiques et scientifiques.

Portrait de Fra Luco Pacioli, attribué à Jacopo dei Barbari, vers 1495.

Le célèbre moine conférencier exhibe avec assurance les instruments de son savoir mathématique, dont les applications se généralisent désormais en architecture et en peinture.

Le nombre d’or apparaît ici dans le rapport entre la hauteur totale du livre et l’écartement entre les doigts de la main droite.

Etude du tableau : La naissance de Vénus de Botticelli à la fin du 15^ème siècle

Le sujet est tiré de la littérature antique.

Botticeli représente la Déesse de la Grâce recouvrant d’un manteau Vénus, Déesse de l’Amour et de la Beauté.

D’après la mythologie Vénus serait née de l’écume de la mer.

Sur la gauche se trouvent les Dieux du Vent, ils ont transporté la belle jusqu’au rivage.

Le peintre a probablement voulu représenter la naissance de l’humanité.

Ses tableaux évoquent souvent un monde idéal, le nombre d’or représente également cet idéal.

Le format du tableau correspond à un Rectangle d’Or. Le groupe des vents, à gauche du tableau et le personnage de la grâce à droite, s’inscrivent dans des Rectangles d’Or et plus précisément le long des diagonales de ces Rectangles d’Or.

Le cercle de gauche renferme le groupe des vents et Vénus, le cercle de droite, Vénus et le personnage de la Grâce.

Le Nombre d’Or apporte donc une clef

à l’interprétation de ce tableau.

Un Rectangle d’Or est un rectangle tel que sa longueur et sa largeur sont dans le rapport du Nombre d’Or. (C’est a dire tel que Longueur/Largeur = Φ)

A l’aide de mesures directes sur la figure et d’une mise à l’échelle correcte, on peut vérifier les références au Nombre d’Or, données dans l’analyse précédente.

Partage doré d’un segment

On peut construire un point E, sur un segment [AB], tel que le partage obtenu le soit dans le rapport du Nombre d’Or.

C’est a dire tel que = Φ

Cette méthode a été et est encore largement utilisée par les artistes qui souhaitent utiliser le rapport doré dans leurs œuvres.

Il faut que

ABC soit un triangle rectangle en B

et

BC = DC = (1/2) x AB

et

AD = AE

Rectangle d’or

On peut construire un rectangle tel que la longueur et la largeur soient dans le rapport du Nombre d’Or.

C’est a dire tel que Longueur/Largeur = Φ

Il faut que

ABCD soit un carré

et

I soit le milieu de [DC]

et

IN = IB

Avec des calculs

Φ est un nombre irrationnel, mais voici des construction numériques qui permettent de calculer des valeurs approchées du Nombre d’Or, aussi précises qu’on le souhaite.

Les égalités sont vraies si les calculs s’étendent jusqu’à l’infini

La gravure “Melencolia” d’albrecht Dürer (1471 – 1528 ) est très riche de symbolisme. On y voit un personnage plongé dans une profonde et sombre réflexion, au milieu d’outils de charpentier et de mathématicien : un compas, une sphère, un cube tronqué et le fameux carré de Dürer gravé dans la pierre d’un mur (en haut à droite).

Carré magique avec une suprême coquetterie de l’artiste qui fait apparaitre la date de réalisation de la gravure, 1514, sur la dernière ligne. Ce carré possède bien d’autres groupements de quatre cases réalisant la somme magique que les seules lignes , colonnes et diagonales principales.

Le système métrique décimal date de la révolution française.

Le souhait était de supprimer toutes les unités de l’époque qui variaient presque d’un village à l’autre et de les remplacer par une unité dans un système universel. Le commerce se développant rendait nécessaire cette uniformité.

Pour permettre à tous les pays de l’accepter avec un minimum de réticences, le système proposé ne devait faire référence à aucune des langues vivantes de l’époque, on choisit le latin pour les sous multiples de l’unité : déci, centi, mili et le grec pour les surmultiples : déca, hecto, kilo.

C’est le système décimal qui est choisi, on passe d’un rang à l’autre en multipliant ou en divisant par 10.

Le système métrique décimal mis de nombreuses années pour être accepté de façon universelle, chaque pays, voir chaque région et même chaque village restant très attaché à son système métrique ancestral. L’Angleterre ne l’a accepté définitivement qu’à la fin du 20^ème siècle et comptait encore en pouces, pieds, les navigateurs continuent de mesurer les distances en miles marins…

Un livre en parle avec beaucoup de détails et de précision : « Le mètre du monde » de Denis Guedj.

Lors de son premier voyage en Egypte, Thalès applique le théorème qui porte aujourd’hui son nom pour mesurer la hauteur de la grande pyramide de Kheops.

Citons de Thalès : “Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne.” Par une relation de proportionnalité, Thalès obtint la hauteur de la pyramide grâce à la longueur de son ombre.

L’idée ingénieuse de Thalès était la suivante :

“ A l’instant où mon ombre sera égale à ma taille, l’ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur.”

René Descartes

philosophe et mathématicien

français

a vécu au début du 17^ème siècle (1596-1650).

Repère cartésien.

Il emprunte à Apollonios de Perga l’utilisation d’un repère de référence formé d’un point origine, d’un axe des abscisses contenant ce point et d’une direction fixe pour les ordonnées. Les coordonnées dites “cartésiennes” dérivent de ce procédé.

Equation d’un tracé.

La géométrie s’appuie dans ce cas, sur des contraintes entre les abscisses et les ordonnées, on parle alors de géométrie analytique.

Ce changement apparaît comme le “miracle” de la géométrie analytique : remplacer pour des points l’alignement imposé par la règle, la “mise en rond” imposée par le compas, par l’obligation pour leurs coordonnées de vérifier une relation qu’on appelle équation.

Dire “équation” pour une figure de géométrie est une expression qui peut paraître étrange, puisqu’il n’y a rien à résoudre au sens habituel du terme.

L’origine de l’utilisation du mot “équation” est à rechercher dans l’histoire de la géométrie analytique. Dans le livre “Géométrie” (1637), Descartes parle par exemple, d’une “équation qui explique le rapport entre x et y”. En fait, “rapport” veut dire “relation”, et comme cette relation s’exprime par une égalité dans laquelle figurent des quantités traitées comme inconnues, elle est dite “équation”, mais il n’y a aucune inconnue à trouver dans ces “équations”.

La géométrie comme calculatrice.

Au début de “Géométrie”, Descartes commence par expliquer “comment le calcul d’Arithmétique se rapporte aux opérations de Géométrie”, autrement dit comment on peut matérialiser par un segment le résultat d’opérations effectuées sur des nombres eux-mêmes matérialisés par des longueurs de segments.

La multiplication.

Il faut d’abord décider de l’unité de longueur (ici ce sera le carreau), deux nombres a et b seront alors représentés par un segment de longueur a et par un segment de longueur b (ici on a choisi a = 2,5 et b = 3). Il suffit alors, si on veut le résultat du produit de a par b, de dessiner deux demi-droites de même origine O et d’y placer

les points I, A et B, tels que OI = 1 unité, OA = a unités et OB = b unités. En traçant par A la parallèle à (IB), on obtient un point P sur (OB) tel que OP = ab. En effet, c’est une situation de Thalès et on peut écrire les rapports suivants :

OI/OA = OB/OP soit 1/a = b/p d’où p = ab

La division.

Si on souhaite obtenir le quotient q, de b par a, il suffit de tracer la parallèle a (AB) passant par I, on obtient un point Q sur (OB) tel que OQ = b/a. En effet, comme précéd

emment on peut écrire : OI/OA = OQ/ OB soit 1/a = q/b d’où q = b/a

On peut vérifier ici les valeurs approchées des résultats :

p = 3 x 2,5 donc p = 7,5

q = 3 / 2,5 donc q = 1,2

Cette île est peuplée par deux types d’habitants : les Purs, qui disent toujours la vérité, et les Pires, qui mentent toujours. Un étranger de passage rencontre deux insulaires, Jean et Paul. Chacun de ces deux habitants est soit un Pur, soit un Pire, mais le voyageur l’ignore. Jean affirme : « Au moins l’un de nous deux est un Pire ! »

Que sont Jean et Paul ?

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